Teoría De Grafos En Linux

Hola, hoy escribo para deciros que he encontrado un programa de software libre el cual nos permite dibujar de una forma muy intuitiva nuestros grafos, además de hacer muchas más cosas con ellos que ahora luego os detallaré.
El programa se llama GraphThing y esta basado en GTK+ y wxWidgets 2.6.1, es muy ligero pero de algoritmo muy potente. El autor del proyecto se llama David Symonds y el programa lo podemos encontrar en Castellano y Catalán gracias a Josep M. López.
Se puede instalar en Mc-OS, Windows, FreeBSD, Linux, y hay paquetes debianizados tanto para Debian como para Ubuntu Dapper, Edgy y Feisty Fawn. Además del código fuente.
Para Dapper y Edgy lo po0déis encontrar en la web de GetDeb la versión 1.3.2 y en Feisty Fawn podéis instalar la versión 1.3.1 desde Synaptic.

El programa nos permite dibujar grafos preestablecidos, que son: Completo, Bipartido Completo, Ciclo, Piñón, Hanoi, Escalera, Malla, Nulo, Estrella, Árbol, Rueda, Petersen y los Platónicos: Cubo, Tetraedro, Octoedro, Dodecaedro e Icosaedro. En la imagen de arriba podéis ver un Icosaedro al cual le hemos calculado su matriz de adyacencia de grado 1 (la matriz de adyacencia la podemos calcular de grado mayor a 1 de forma sencilla).Para dibujar nuestros propios grafos es muy sencillo, hay que hacer lo siguiente:

  • Para Poner un vértice: Señalamos “Modo Vértice” y luego en la pantalla damos doble click con el ratón y nos aparecerá el vértice, al cual le podremos cambiar el nombre dándole doble click del ratón sobre el vértice dibujado.
  • Para Poner una arista: Lo pimero es tener por lo menos dos vértices dibujados, después marcamos la opción “Modo arista”, seguidamente con el ratón señalamos uno de los vértices y después señalamos el vértice de destino.

 

Para que la arista tenga una dirección basta que le déis doble click del ratón sobre la arista, os aparecerá una ventana, os váis a la opción “Dirección De Arista” y marcáis la dirección que deseis, le dáis a Aceptar y ya lo tenéis. (Ver imagen superior derecha).Para añadir pesos y flujos a las aristas lo primero es que en la barra de herramientas os vayáis a la opción “Ver” y señaléis: “Pesos” y “Flujos”. Seguidamente dáis doble clicck a la arista que queráis y en la ventana que os aparecía anteriormente modificáis las opciones: “Peso de la arista” y “Flujo de la arista” (Ver imagen superior derecha), para ver como queda dadle a la imagen superior izquierda.

Entre las cosas que podemos hacer con GraphThing tenemos:

  • Calcular grafo línea.
  • Calcular grafo complementario.
  • Calcular subgrafo.
  • Buscar camino más corto.
  • Búsqueda en anchura.
  • Búsqueda en profundidad.
  • Árbol de expansión mínimo.
  • Flujo máximo.
  • Saber si un grafo es conexo, euleriano, hamiltoniano o planar.
  • Calcular la matriz de adyacencia.
  • Calcular la sucesión de grados, el radio o el diámetro.
  • Calcular número, índice y polinomio cromático.

Con el programa todavía no se pueden dibujar aristas sobre un mismo vértice (o bucles) ni más de una arista entre dos vértices, pero David, su creador; me ha dicho por e-mail que en cuanto tenga tiempo lo hará 🙂
Para guardar nuestros trabajos con Grapththing los guardaremos con la extensión .gt. Pero si queremos por ejemplo, añadir a nuestros documentos de Openoffice los grafos que tenemos lo podemos hacer con un capturador de pantalla guardándolo en formato jpg, para ello os recomiendo Desktop Data Manager
para los de Feisty lo tenéis en Synaptic.

Bueno, todo eso es muy bonito, pero ¿qué carajo es un grafo y para qué sirve? Bueno la respuesta a esto es muy larga, así que os dejo unos enlaces:

Teoria de Grafos (Wikipedia, en Inglés, pero muy completo)
Teoria de Grafos (Wikipedia, en castellano)

Enlaces relacionados:

Web de Graphthing
Proyecto CityBuilder (Gran proyecto en el cual para su construcción se ha utilizado GraphThing)

Ya no queda más que deciros que un servidor siempre estará a favor de una enseñanza libre e igualitaria en todos los estratos sociales y gubernamentales.
Agradecer a David por su generosidad en atenderme. Very, very thanks David 🙂

Saludos 🙂

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Scilab El Matlab De Linux

Hola, si buscáis un Matlab para Linux podéis utilizar Scilab, es muy ligero pero da todas las funcionalidades del Matlab. Lo podéis instalar desde los repositorios de Ubuntu o Guadalinex, pero yo os recomiendo que os lo bajéis directamente desde su web, ya que tendréis la última versión instalada y además es muy sencillo de instalar. Para instalarlo deberéis hacer lo siguiente:

  1. Ir a la Web de Scilab
  2. Una vez estéis en su web veréis que en su página principal tenéis el enlace de descarga para Linux, donde pone Download Scilab, os lo bajáis.
  3. Una vez os lo hayáis bajado sólo tenéis que descomprimirlo en el directorio /opt, esto lo podéis hacer fácilmente entrando en terminal y escribiendo:
  • sudo file-roller (si estáis en GNOME)
  • sudo ark (si estáis en KDE)
  • sudo xarchiver (si estáis en XFCE/XUBUNTU).

Se os abrirá el gestor de descompresión, buscáis el fichero comprimido que os acabáis de descargar y le indicáis que os lo descomprima en /opt

Ahora cerráis y volvéis a abrir terminal y escribid:

cd opt

cd scilab*

sudo make 

Con eso ya lo tenéis instalado, sólo falta que os creéis un lanzador en vuestro escritorio del ejecutable que se encuentra en /opt/scilab*.*/bin/scilab, donde los astericos son el número de la versión que os hayáis bajado. Le ponéis el icono que más os guste y a trabajar 🙂
Si buscáis ayuda en su uso podéis descargaros tutoriales de AQUI
También podéis aprender a utilizarlo con cualquier tutorial o manual que tengáis de Matlab.

En la ventana de comandos de scilab si escribís help [nombre del comando] obtendréis una ayuda totalmente detallada, por ejemplo, mirad lo que pasa si escribo help plot

Para  dibujar gráficas es suficiente que le déis la orden correspondiente de dibujar y luego con la ventana que se os abra podréis cambiar la panorámica de la gráfica, añadir títulos a las etiquetas de los ejes o de la gráfica, etc. También podréis guardar el dibujo desde el menú File que hay en la misma ventana de la gráfica. Esto con Octave es un suplicio. Podéis ver en la siguiente imagen dibujada la función seno con títulos añadidos.

Os dejo con un pequeño youtube que he hecho sobre las cosas que podéis hacer con Scilab.

Saludos 🙂

Aprende C++ Con Video Tutoriales

Hola, he encontrado un completo curso para aprender C++ en forma de video tutorial.
El curso va desde lo más sencillo hasta cómo trabajar con clases, punteros, herencias.. Esta muy bien explicado y en castellano. También nos explica el polimorfismo, herencias…
Los videos se desarrollan con la herramienta de compilación MFC de Microsoft, pero los podéis hacer igualmente bajo nuestro Linux.
Me gusta que en cada capítulo el autor del curso se explaya lo suficiente para que cualquiera pueda entender el lenguaje, te da ejemplos, te hace los programas in situ, te pone esquemas, te hace tests y te pone programas para que vayas practicando.

En fin, un buen curso para aprender C++ al que puedes acceder Pinchando Aquí

La fuente de donde me he enterado es en el blog Programación En C Y Otros Acertijos

Saludos 🙂

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La Sucesión De Fibonacci Y La Naturaleza

Leonardo de Pisa, Fibonacci, es el que da a conocer al mundo la sucesión de Fibonacci en su libro Liber abaci, junto con el problema de los conejos.
La sucesión de Fibonacci o secuencia áurea ya había sido descubierta con anterioridad por matemáticos hindúes tales como Gopala (antes de 1135) y Hemachandra (c. 1150) quienes habían investigado los patrones rítmicos que se formaban con sílabas o nos de uno o dos pulsos. El número de tales ritmos (teniendo juntos una cantidad n de pulsos) era F(n+1), que es como sed representa al término n+1 de la sucesión de Fibonacci. Kepler también escribió sobre dicha sucesión. Y Robert Simson (en 1753) descubrió que:

F(n)/F(n-1)—>Relacion áurea cuando n tiende a infinito

La suceesión de Fibonacci es una sucesión de números de la forma:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…
Y su fórmula general es una función recursiva de término general

A esta fórmula se llega de forma sencilla mediante el método de diferencias divididas.Si consideramos la expresión F(n) = F(n-1)+F(n-2) y realizamos el cambio de variable x=F(n-1) llegamos a la expresión x²-x-1=0, cuyas soluciones son:

Es decir, las soluciones son el número áureo (1,618033989….) y su conjugado. Hay que tener que el número áureo es un número irracional por serlo la raíz de cinco. Este número áureo lo podemos considerar como uno de los valores propios de nuestra fórmula recursiva de Fibonacci, junto con su conjugado. Teniendo en cuenta que dichos valores propios son reales y distintos; y que nuestra forma recursiva la podemos considerar como una ecuación en diferencias, podemos averiguar la expresión de F(n) de forma explícita mediante:F(n) = a Fi^n + b fi^n , para averiguar a y b basta sustituir n = 0 y n= 2, obteniendo un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, Al resolverlo nos queda que el término general de la sucesión de Fibonacci, en forma explícita es:

 

En la siguiente imagen podéis ver la sucesión de Fibonacci extendida al campo de los números reales.

Una de las propiedades es que cualquier número natural se puede escribir mediante la suma de un número limitado de términos de la secuencia de Fibonacci, cada uno de ellos distinto a los demás. Por ejemplo:
17 = 13+3+1, 65 = 55+8+2.

El problema de los conejos

“Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil,
a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez,
tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos.
¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número
de meses?.”


Como podéis ver en el gráfico, el número de parejas a lo largo de los meses coincide con los términos de la sucesión.La sucesión de Fibonacci En Hojas, Plantas, Flores…

Las ramas y las hojas de las
plantas se distribuyen buscando siempre recibir el máximo de luz para
cada una de ellas. Por eso ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior.
La distribución de las hojas alrededor del tallo de las plantas se produce
siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números.

El número de espirales en numerosas flores y frutos también se
ajusta a parejas consecutivas de términos de esta sucesión: los
girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144.

Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales.

Y cualquier variedad de piña presenta siempre un número de espirales
que coincide con dos términos de la sucesión de los conejos de
Fibonacci, 8 y 13; o 5 y 8.

Parece que el mundo vegetal tenga programado en sus códigos genéticos
del crecimiento los términos de la sucesión de Fibonacci.

La sucesión de Fibonacci Y Las Partes Corporales De Humanos Y Animales

  • La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
  • La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
  • La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
  • La relación entre las divisiones vertebrales.
  • La relación entre las articulaciones de las manos y los pies.

La Sucesión De Fibonacci En El Arte

Rectángulos De Fibonacci Y Espiral De Durero

Podemos construir una serie de rectángulos utilizando los números
de esta sucesión.

Empezamos con un cuadrado de lado 1, los dos primeros términos de la
sucesión.

Construimos otro igual sobre él. Tenemos ya un primer rectángulo
Fibonacci de dimensiones 2 x1.

Sobre el lado de dos unidades construimos un cuadrado y tenemos un nuevo rectángulo
de 3×2.

Sobre el lado mayor construimos otro cuadrado, tenemos ahora un rectángulo
5×3, luego uno 5×8, 8×13, 13×21…

Podemos llegar a rectángulos de 34×55, de 55×89…

Cuanto más avancemos en este proceso más nos aproximamos al rectángulo áureo.

Hemos construido así una sucesión de rectángulos, cuyas
dimensiones partiendo del cuadrado (1×1), pasan al rectángulo de dimensiones
2×1, al de 3×2, y avanzan de forma inexorable hacia el rectángulo áureo.

Si unimos los vértices de estos rectángulos se nos va formando
una curva que ya nos resulta familiar. Es la espiral de Durero.

Una espiral, que de forma bastante ajustada, está presente en el crecimiento
de las conchas de los moluscos, en los cuernos de los rumiantes… Es decir,
la espiral del crecimeinto y la forma del reino animal.

Fibonacci sin pretenderlo había hallado la llave del crecimiento en
la Naturaleza.

Como cosa curiosa de Fibonacci podemos destacar que el número de Fibonacci F(n+1) da el número de maneras para fichas de dominó 2 x 1 de cubrir un tablero de ajedrez de medidas 2 x n.

Como puedes ver la sucesión de Fibonacci tiene una importancia muy grande en la naturaleza, pero también aparece en el arte, en casos curiosos,…
Ahora te dejo a ti lector que investigues más sobre el tema, que tengas curiosidad de aprender de una forma entretenida, busca en las bibliotecas, en internet, la tele, documentales,… Pero sobre todo fíjate en el entorno que te rodea a ver si ves cosas que puedan estar relacionadas con la sucesión de Fibonacci. Te aseguro que observando se aprende mucho y de forma muy amena.
Te dejo un par de enlaces para que curiosees:La Espiral De Alberto Durero Y Las Meninas
Fibonacci en Mathworld
Breve Biografía De Leonardo Pisano Fibonacci
El Número De Oro

Este post se ha apoyado en los siguientes enlaces ( y también en cosecha propia del autor de este post):

Enlace 1
Enlace 2

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Más Fractales Para Linux

 Hola, he encontrado un nuevo programa para aprender sobre fractales, se llama GNOFRACT 4d , está basado en Python.

Gnofract 4D es un programa de código abierto que permite a cualquiera crear bonitas imágenes llamadas fractales. Las imágenes son creadas de forma automática por el ordenador basadas en principios matemáticos. Estas incluyen los conjuntos de Mandlebrot y de Julia y muchos más. No necesitas hacer ninguna matemática: puedes explorar un universo de imágenes sólo utilizando el ratón. Funciona en sistemas basados en Unix, como Linux y FreeBSD.

Traducción del párrafo incluido en GNOFRACT 4d 

Este programa se puede instalar en distros como Fedora, RedHat, Suse y Gentoo. Para Ubuntu por desgracia no hay un .deb así que hay que compìlar el .tar.gz. Nos lo podemos bajar de AQUÍ

Lo primero será ver que se cumplen las dependencias, que se cumplen las dependencias, que según el README del tarball son:

Python versión 2.2 o superior
PyGTK versión 1.99 o superior
GTK+ versión 2.0 o superior
 Un  compilador de  C

Para lo de python y PyGTK y GTK+ os aconsejo que en Synaptic busquéis: python, pygtk, gtk e instaléis los -dev, para python la 2.4. Para el compilador de C basta que instaléis build-essential. Antes de instalarlo si queréis saber si os funciona lo podéis hacer de la siguiente forma: lo descomprimís y desde terminal introducid:

./setup.py build

Y si no os sale ningún mensaje de error lo podéis ejecutar con la orden

./gnofract4d

Si todo ha ido bien y lo queréis instalar en vuestro sistema haced lo siguiente:

./setup.py install

Ahora ya lo podéis ejecutar desde terminal escribiendo gnofract4d o podéis crearos un lanzador en vuestro escritorio.

Tiene una característica  muy interesante, que es que puedes conocer el código de cada fractal que viene implementado por defecto desde Image Browser

 Podéis aumentar el zoom y cambiar perspectivas de los distintos fractales y un montón de cosas más. Hay un Manual

En mi opinión es un buen programa pero creo que XAOS es mucho más completo porque tiene la visión de poder ser útil en la enseñanza secundaria, además de implementar fractales en 3D. Aunque éste también es un buen programa.

Bueno ya tenemos otra alternativa más para aprender y divertirnos con las matemáticas en LINUX, en mi caso en Ubuntu.

Si queréis obtener Wallpapers, cabeceras para vuestro blog, documentación del programa no tenéis mas que visitar el BLOG GNOFRACT 4D 

Saludos 🙂

 

Las matemáticas vienen de África

Este es un interesante artículo publicado en El Pais.com en el cual podemos leer que parece ser que en contra de lo que se piensa de que la escritura y la numeración aparecieran en Mesopotamia, se cree que los primeros sistemas numéricos se inventaron en África hace 20.000 años, es decir; 15.000 años antes de que aparecieran en Mesopotamia.
                                                
Este descubrimiento parece que tiene el origen en dos huesos conservados en el Instituto Real de Ciencias Naturales de Bélgica. Estos huesos fueron hallados en los años 50 en Ishango (República Democrática de Congo), junto a la cabecera del Nilo.

Se cree que lo más probable es que utilizasen un sistema en base 6 o 12, ya que muchas poblaciones africanas actuales, como los yasgua de Nigeria, utilizan sistemas de base 12.

Si esto es así cabe destacar que estas tribus utilizaban ya sistemas numéricos que no eran ni el quinario, ni el decimal, que fueron unosde los primeros sistemas numéricos que se cree que empezó a utilizar la humanidad.
Podéis encontrar todo el artículo Pinchando Aquí

Saludos

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Teselaciones No Repetitivas En El Arte Medieval

Hola, mediante Liferea me entero que en Barrapunto hay una noticia sobre el descubrimiento de teselaciones no repetitivas en el arte medieval islámico muchos siglos antes de que se desarrollase ésta teoría matemática en los años 70.
Esto ha sido noticia en el NYTimes en su sección Ciencia, aquí os traduzco en su totalidad la noticia que aparece en el NY Times.

                                                

En la belleza y complejidad geométrica de los mosaicos en baldosas en los muros de los edificios medievales Islámicos, los científicos han reconocido estampados que sugieren que los diseñadores habíanm realizado un gran avance en los comienzos matemáticos de principios del siglo 13.

Un nuevo estudio muestra que en el proceso de realización de mosaicos Islámicos, son mucho más intrincados que los que se encuentran en el suelo de un baño, parecen tener complicados y avanzadas matemáticas de los cuasi cristales, que no fueron comprendidos por científicos modernos hasta hace tres décadas.

Los hallazgos, que fueron reportados en el apartado actual del diario Science, son un recuerdo del arte sofisticado, arquitectura y ciencia ligadas durante tiempo en la cultura Islámica. Estos hallazgos se cambia la idea de que los diseñadores crearan estos elaborados mosaicos sólo con regla y compás. En lugar de esto, los expertos dicen, que ellos pudieron tener otras herramientas y conceptos.

Hace dos años, Peter J. Lu, un estudiante doctorado en Física en la Universidad de Harvard, se conmocionó al ver el mosaico geométrico en un muro en Uzbekistan. Le recordó a lo que los matemáticos llaman diseños quasi-cristalinos. Estos fueron demostrados a inicios de los 70 por Roger Penrose, un matemático y cosmólogo de la Universidad de Oxford.

El Sr. Lu se puso a examinar dibujos de otras vidrieras de Afganistán, Irán, Irak y Turquía, trabajando con Paul J. Steinhardt, un cosmólogo de Princeton que es toda una autoridad en los cuasi-cristales y había sido el asesor no universitario del Sr. Lu. La investigación fue algo así como la reconstrucción de un intrincado rompecabezas, dijo el Sr. Lu en una entrevista.

En sus periódicos informes, El Sr. Lu y el Dr. Steinhardt concluyeron que por el siglo XV, los diseñadores y artesanos Islámicos habían desarrollado técnicas  “para construir quasi-cristales perfectos en estampados de Penrose, 5 siglos antes de descubrirse en el mundo occidental.

Algunos de los estampados más complejos, llamados “girih” en Persa, consisten de conjuntos de polígonos contiguos unidos con poca deformación y sin huecos. Cada polígono (un decágono, pentágonos, diamante, pajarita o hexágono) es atravesado por una línea decorativa. El Sr. Lu averiguó que las baldosas entrelazadas estaban dispuestas en predecibles estilos para crear un estampado que nunca se repita, -es decir, los quasi-cristales.

“Una y otra vez, los azulejos girih proporcionan explicaciones lógicas para intrincados diseños,! dijo el Sr. Lu en unas conferencias realizadas en Harvard.

Él y el Dr. Steinhardt reconocieron que los artesanos del siglo XIII habían empezado a crear estampados mosaico de esta forma. Los girih geométricos de polígonos estrellados, como los quasi-cristales, pueden ser girados un cierto número de grados, digamos una quinta parte de una circunferencia, para que tomen posición otros azulejos encajen. Así pues, esto permite que un mosaico sea infinitamente grande y que nunca se repita, a pesar de que los azulejos son los típicos del suelo.

Esto fue, escribieron los científicos, “un importante avance en las matemáticas y  el diseño Islámicos”.
El Dr. Steinhardt dijo en una entrevista que no estaba claro cuánto entendían los diseñadores Islámicos en la totalidad de los elementos que aplicaban en la constgrucción de esos estampados. “Sólo puedo decir que están en los muros,” él dijo.

El Sr. Lu dijo “que sería increible que todo fuese una coincidencia”.

“Por lo menos,” dijo, “nos muestra una cultura que con frecuencia no le damos crédito de que fuese más avanzada de lo que éramos nosotros en aquel entonces.”

Desde un estudios de unos cuantos cientos de ejemplos, el Sr. Lu y el Dr. Steinhardt determinaron que la técnica fue totalmente desarrollada dos siglos después en mezquitas, palacios, santuarios y otros edificios. Se dieron cuenta de que “un casi perfecto quasi-cristalino mosaico de Penrose” fue hallado en el santuario Darb-i Imam en Isfahan, Irán, el cual fue construido en 1453. Los investigadores lo describieron como las arquitecturas que allí habían creadas solapaban mosaicos con azulejos girih en dos dimensiones para producir casi perfectos mosaicos quasi-cristales.

En el informe, el Sr. Lu y el Dr. Steinhardt dijeron que los ejemplos de lo que habían estudiado sólo eran una pequeña cantidad……
En un artículo separado en Science, algunos expertos en la matemática de vidrieras cuestionaron si los hallazgos eran en verdad nuevas teorias. En particular, Emil Makovicky de la Universidad de Copenhague en Dinamarca dijo que el nuevo informe estaba falto de credulidad en un análisis que publicó en 1992 de los frisos en una tumba de Irán.

El Sr. Lu y el Dr. Steinhardt dijeron que lamentaban lo que ellos llamaban un mal entendido. Señalaron que la totalidad de su estudio cumplía estrictamente con los editores del diario, pero incluyeron dos notas a pie de página de la investigación del Dr. Makovicky. Ninguno de los árbitros o editores que revisaron el papel, dijo el Dr. Steinhardt, prestó mayor importancia al ensayo previo.

Aunque sus trabajos tuvieron elementos en común con los del Dr. Markovicky, el Dr. Steinhardt dijo en una entrevista que su ensayo no tenía nada que ver con el otro pero una “totalidad de azulejos barridos” fueron interpretadas con unos cientos de ejemplos.

El artículo citaba entre otros a dos expertos, Dov Levine y Joshua Socolar, físicos en el Instituto de Tecnología de Israel en Haifa y la Universidad Duke, respectivamente, se pusieron de acuerdo que el Dr. Makovicky merecía mayor crédito. Sin embargo en el artículo destacaban que el estudio Lu-Steinhardt había “generado interés e hipótesis demostrables.”

Si queréis saber algo sobre mosaicos y teselaciones en el mundo de las matemáticas os dejo el siguiente Enlace.

Saludos 🙂

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