La Sucesión De Fibonacci Y La Naturaleza

Leonardo de Pisa, Fibonacci, es el que da a conocer al mundo la sucesión de Fibonacci en su libro Liber abaci, junto con el problema de los conejos.
La sucesión de Fibonacci o secuencia áurea ya había sido descubierta con anterioridad por matemáticos hindúes tales como Gopala (antes de 1135) y Hemachandra (c. 1150) quienes habían investigado los patrones rítmicos que se formaban con sílabas o nos de uno o dos pulsos. El número de tales ritmos (teniendo juntos una cantidad n de pulsos) era F(n+1), que es como sed representa al término n+1 de la sucesión de Fibonacci. Kepler también escribió sobre dicha sucesión. Y Robert Simson (en 1753) descubrió que:

F(n)/F(n-1)—>Relacion áurea cuando n tiende a infinito

La suceesión de Fibonacci es una sucesión de números de la forma:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…
Y su fórmula general es una función recursiva de término general

A esta fórmula se llega de forma sencilla mediante el método de diferencias divididas.Si consideramos la expresión F(n) = F(n-1)+F(n-2) y realizamos el cambio de variable x=F(n-1) llegamos a la expresión x²-x-1=0, cuyas soluciones son:

Es decir, las soluciones son el número áureo (1,618033989….) y su conjugado. Hay que tener que el número áureo es un número irracional por serlo la raíz de cinco. Este número áureo lo podemos considerar como uno de los valores propios de nuestra fórmula recursiva de Fibonacci, junto con su conjugado. Teniendo en cuenta que dichos valores propios son reales y distintos; y que nuestra forma recursiva la podemos considerar como una ecuación en diferencias, podemos averiguar la expresión de F(n) de forma explícita mediante:F(n) = a Fi^n + b fi^n , para averiguar a y b basta sustituir n = 0 y n= 2, obteniendo un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, Al resolverlo nos queda que el término general de la sucesión de Fibonacci, en forma explícita es:

 

En la siguiente imagen podéis ver la sucesión de Fibonacci extendida al campo de los números reales.

Una de las propiedades es que cualquier número natural se puede escribir mediante la suma de un número limitado de términos de la secuencia de Fibonacci, cada uno de ellos distinto a los demás. Por ejemplo:
17 = 13+3+1, 65 = 55+8+2.

El problema de los conejos

«Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil,
a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez,
tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos.
¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número
de meses?.»

Como podéis ver en el gráfico, el número de parejas a lo largo de los meses coincide con los términos de la sucesión.La sucesión de Fibonacci En Hojas, Plantas, Flores…

Las ramas y las hojas de las
plantas se distribuyen buscando siempre recibir el máximo de luz para
cada una de ellas. Por eso ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior.
La distribución de las hojas alrededor del tallo de las plantas se produce
siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números.

El número de espirales en numerosas flores y frutos también se
ajusta a parejas consecutivas de términos de esta sucesión: los
girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144.

Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales.

Y cualquier variedad de piña presenta siempre un número de espirales
que coincide con dos términos de la sucesión de los conejos de
Fibonacci, 8 y 13; o 5 y 8.

Parece que el mundo vegetal tenga programado en sus códigos genéticos
del crecimiento los términos de la sucesión de Fibonacci.

La sucesión de Fibonacci Y Las Partes Corporales De Humanos Y Animales

• La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
• La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
• La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
• La relación entre las divisiones vertebrales.
• La relación entre las articulaciones de las manos y los pies.

La Sucesión De Fibonacci En El Arte

• La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas (s. V a. C..
• En los violines, la ubicación de las efes (los “oídos”, u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.
• El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Da Vinci, entre otros.
• Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitruvio y en otras obras de Leonardo da Vinci.
• En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Debussý.

Rectángulos De Fibonacci Y Espiral De Durero

Podemos construir una serie de rectángulos utilizando los números
de esta sucesión.

Empezamos con un cuadrado de lado 1, los dos primeros términos de la
sucesión.

Construimos otro igual sobre él. Tenemos ya un primer rectángulo
Fibonacci de dimensiones 2 x1.

Sobre el lado de dos unidades construimos un cuadrado y tenemos un nuevo rectángulo
de 3×2.

Sobre el lado mayor construimos otro cuadrado, tenemos ahora un rectángulo
5×3, luego uno 5×8, 8×13, 13×21…

Podemos llegar a rectángulos de 34×55, de 55×89…

Cuanto más avancemos en este proceso más nos aproximamos al rectángulo áureo.

Hemos construido así una sucesión de rectángulos, cuyas
dimensiones partiendo del cuadrado (1×1), pasan al rectángulo de dimensiones
2×1, al de 3×2, y avanzan de forma inexorable hacia el rectángulo áureo.

Si unimos los vértices de estos rectángulos se nos va formando
una curva que ya nos resulta familiar. Es la espiral de Durero.

Una espiral, que de forma bastante ajustada, está presente en el crecimiento
de las conchas de los moluscos, en los cuernos de los rumiantes… Es decir,
la espiral del crecimeinto y la forma del reino animal.

Fibonacci sin pretenderlo había hallado la llave del crecimiento en
la Naturaleza.

Como cosa curiosa de Fibonacci podemos destacar que el número de Fibonacci F(n+1) da el número de maneras para fichas de dominó 2 x 1 de cubrir un tablero de ajedrez de medidas 2 x n.

Como puedes ver la sucesión de Fibonacci tiene una importancia muy grande en la naturaleza, pero también aparece en el arte, en casos curiosos,…
Ahora te dejo a ti lector que investigues más sobre el tema, que tengas curiosidad de aprender de una forma entretenida, busca en las bibliotecas, en internet, la tele, documentales,… Pero sobre todo fíjate en el entorno que te rodea a ver si ves cosas que puedan estar relacionadas con la sucesión de Fibonacci. Te aseguro que observando se aprende mucho y de forma muy amena.
Te dejo un par de enlaces para que curiosees:La Espiral De Alberto Durero Y Las Meninas
Fibonacci en Mathworld
Breve Biografía De Leonardo Pisano Fibonacci
El Número De Oro

Este post se ha apoyado en los siguientes enlaces ( y también en cosecha propia del autor de este post):

Enlace 1
Enlace 2

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